在计算机领域里，线段树是一种功能强大的数据结构，它能高效地处理区间查询和更新操作。不过，在实际应用场景中，普通的线段树可能无法满足一些特殊需求，于是就有了线段树的各种变种，像可持久化线段树、二维线段树以及区间修改的懒标记优化等。接下来，咱们就深入探讨一下这些线段树的变种。
一、可持久化线段树
1.1 基本概念
可持久化线段树，简单来说，就是能够保留历史版本的线段树。在很多实际问题中，我们不仅要知道当前线段树的状态，还要了解它在之前某个时刻的状态。可持久化线段树就为我们解决了这个难题，它可以在每次修改操作后，保留之前版本的线段树，方便我们随时回溯查询。
1.2 示例代码（以 C++ 为例）
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 5;
// 定义可持久化线段树的节点结构
struct Node {
int l, r; // 左右子节点的索引
int sum; // 区间和
Node() : l(0), r(0), sum(0) {}
};
Node nodes[MAXN * 20]; // 节点数组
int root[MAXN]; // 每个版本的根节点
int cnt = 0; // 节点计数器
// 构建初始版本的线段树
int build(int l, int r, vector<int>& arr) {
int idx = ++cnt;
if (l == r) {
nodes[idx].sum = arr[l - 1];
return idx;
}
int mid = (l + r) / 2;
nodes[idx].l = build(l, mid, arr);
nodes[idx].r = build(mid + 1, r, arr);
nodes[idx].sum = nodes[nodes[idx].l].sum + nodes[nodes[idx].r].sum;
return idx;
}
// 更新操作，创建新的版本
int update(int pre, int l, int r, int pos, int val) {
int idx = ++cnt;
nodes[idx] = nodes[pre];
if (l == r) {
nodes[idx].sum = val;
return idx;
}
int mid = (l + r) / 2;
if (pos <= mid) {
nodes[idx].l = update(nodes[pre].l, l, mid, pos, val);
} else {
nodes[idx].r = update(nodes[pre].r, mid + 1, r, pos, val);
}
nodes[idx].sum = nodes[nodes[idx].l].sum + nodes[nodes[idx].r].sum;
return idx;
}
// 查询操作，查询指定版本的区间和
int query(int idx, int l, int r, int ql, int qr) {
if (ql <= l && r <= qr) {
return nodes[idx].sum;
}
int mid = (l + r) / 2;
int res = 0;
if (ql <= mid) {
res += query(nodes[idx].l, l, mid, ql, qr);
}
if (qr > mid) {
res += query(nodes[idx].r, mid + 1, r, ql, qr);
}
return res;
}
int main() {
vector<int> arr = {1, 2, 3, 4, 5};
int n = arr.size();
root[0] = build(1, n, arr); // 构建初始版本
// 更新操作，创建新版本
root[1] = update(root[0], 1, n, 3, 10);
// 查询操作
cout << "Version 0, Query [2, 4]: " << query(root[0], 1, n, 2, 4) << endl;
cout << "Version 1, Query [2, 4]: " << query(root[1], 1, n, 2, 4) << endl;
return 0;
}
1.3 代码解释
Node结构体表示线段树的节点，包含左右子节点的索引和区间和。build函数用于构建初始版本的线段树。update函数在每次更新操作时，创建一个新的版本。它会复用未修改的节点，只创建必要的新节点。query函数用于查询指定版本的线段树的区间和。
1.4 应用场景
可持久化线段树常用于处理需要回溯历史状态的问题，比如历史版本查询、可撤销的操作等。在一些数据库系统中，需要保留数据的历史版本，可持久化线段树就可以发挥很好的作用。
1.5 技术优缺点
- 优点：可以保留历史版本，方便回溯查询；避免了重复构建线段树，节省了时间和空间。
- 缺点：需要额外的空间来存储多个版本的线段树，空间复杂度较高；维护多个版本会增加代码的复杂度。
1.6 注意事项
使用可持久化线段树时，要注意空间的使用。由于需要存储多个版本的线段树，可能会导致内存占用过大。同时，在更新操作时，要合理复用未修改的节点，以减少空间开销。
二、二维线段树
2.1 基本概念
二维线段树是线段树在二维空间上的扩展，用于处理二维区间的查询和更新操作。它可以高效地处理矩阵的区间和、最大值、最小值等问题。
2.2 示例代码（以 C++ 为例）
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAXN = 105;
// 定义二维线段树的节点结构
struct Node {
int x1, y1, x2, y2; // 节点表示的二维区间
int sum; // 区间和
Node() : x1(0), y1(0), x2(0), y2(0), sum(0) {}
};
Node nodes[MAXN * MAXN * 4]; // 节点数组
int cnt = 0; // 节点计数器
// 构建二维线段树
int build(int x1, int y1, int x2, int y2, vector<vector<int>>& mat) {
int idx = ++cnt;
nodes[idx].x1 = x1;
nodes[idx].y1 = y1;
nodes[idx].x2 = x2;
nodes[idx].y2 = y2;
if (x1 == x2 && y1 == y2) {
nodes[idx].sum = mat[x1 - 1][y1 - 1];
return idx;
}
int mx = (x1 + x2) / 2;
int my = (y1 + y2) / 2;
int son[4];
son[0] = build(x1, y1, mx, my, mat);
son[1] = build(x1, my + 1, mx, y2, mat);
son[2] = build(mx + 1, y1, x2, my, mat);
son[3] = build(mx + 1, my + 1, x2, y2, mat);
nodes[idx].sum = 0;
for (int i = 0; i < 4; i++) {
nodes[idx].sum += nodes[son[i]].sum;
}
return idx;
}
// 查询二维区间和
int query(int idx, int qx1, int qy1, int qx2, int qy2) {
int x1 = nodes[idx].x1, y1 = nodes[idx].y1;
int x2 = nodes[idx].x2, y2 = nodes[idx].y2;
if (qx1 <= x1 && qy1 <= y1 && x2 <= qx2 && y2 <= qy2) {
return nodes[idx].sum;
}
int mx = (x1 + x2) / 2;
int my = (y1 + y2) / 2;
int res = 0;
if (qx1 <= mx && qy1 <= my) {
res += query(1, qx1, qy1, qx2, qy2);
}
if (qx1 <= mx && qy2 > my) {
res += query(2, qx1, qy1, qx2, qy2);
}
if (qx2 > mx && qy1 <= my) {
res += query(3, qx1, qy1, qx2, qy2);
}
if (qx2 > mx && qy2 > my) {
res += query(4, qx1, qy1, qx2, qy2);
}
return res;
}
int main() {
vector<vector<int>> mat = {
{1, 2, 3},
{4, 5, 6},
{7, 8, 9}
};
int n = mat.size();
int m = mat[0].size();
int root = build(1, 1, n, m, mat);
// 查询区间和
cout << "Query [1, 1, 2, 2]: " << query(root, 1, 1, 2, 2) << endl;
return 0;
}
2.3 代码解释
Node结构体表示二维线段树的节点，包含节点表示的二维区间和区间和。build函数用于构建二维线段树，它将二维区间不断划分成四个子区间。query函数用于查询二维区间的和。
2.4 应用场景
二维线段树常用于处理矩阵相关的问题，比如图像处理中的区域统计、游戏中的地图数据处理等。
2.5 技术优缺点
- 优点：能够高效地处理二维区间的查询和更新操作；代码实现相对简单，易于理解。
- 缺点：空间复杂度较高，为 $O(n^2)$；对于大规模矩阵，可能会占用大量内存。
2.6 注意事项
在使用二维线段树时，要注意矩阵的大小。如果矩阵过大，可能会导致内存溢出。同时，在更新操作时，要确保更新的区间正确。
三、区间修改的懒标记优化
3.1 基本概念
在普通线段树的区间修改操作中，如果每次都直接更新到叶子节点，时间复杂度会很高。懒标记优化就是为了解决这个问题，它通过在节点上标记需要更新的信息，而不是立即更新到叶子节点，等到需要查询时再将标记下推，从而减少不必要的更新操作，提高效率。
3.2 示例代码（以 C++ 为例）
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 5;
// 定义线段树的节点结构
struct Node {
int l, r; // 左右端点
int sum; // 区间和
int lazy; // 懒标记
Node() : l(0), r(0), sum(0), lazy(0) {}
};
Node nodes[MAXN * 4]; // 节点数组
// 构建线段树
void build(int idx, int l, int r, vector<int>& arr) {
nodes[idx].l = l;
nodes[idx].r = r;
if (l == r) {
nodes[idx].sum = arr[l - 1];
return;
}
int mid = (l + r) / 2;
build(idx * 2, l, mid, arr);
build(idx * 2 + 1, mid + 1, r, arr);
nodes[idx].sum = nodes[idx * 2].sum + nodes[idx * 2 + 1].sum;
}
// 下推懒标记
void pushdown(int idx) {
if (nodes[idx].lazy) {
int mid = (nodes[idx].l + nodes[idx].r) / 2;
nodes[idx * 2].sum += nodes[idx].lazy * (mid - nodes[idx].l + 1);
nodes[idx * 2].lazy += nodes[idx].lazy;
nodes[idx * 2 + 1].sum += nodes[idx].lazy * (nodes[idx].r - mid);
nodes[idx * 2 + 1].lazy += nodes[idx].lazy;
nodes[idx].lazy = 0;
}
}
// 区间更新操作
void update(int idx, int ql, int qr, int val) {
if (ql <= nodes[idx].l && nodes[idx].r <= qr) {
nodes[idx].sum += val * (nodes[idx].r - nodes[idx].l + 1);
nodes[idx].lazy += val;
return;
}
pushdown(idx);
int mid = (nodes[idx].l + nodes[idx].r) / 2;
if (ql <= mid) {
update(idx * 2, ql, qr, val);
}
if (qr > mid) {
update(idx * 2 + 1, ql, qr, val);
}
nodes[idx].sum = nodes[idx * 2].sum + nodes[idx * 2 + 1].sum;
}
// 区间查询操作
int query(int idx, int ql, int qr) {
if (ql <= nodes[idx].l && nodes[idx].r <= qr) {
return nodes[idx].sum;
}
pushdown(idx);
int mid = (nodes[idx].l + nodes[idx].r) / 2;
int res = 0;
if (ql <= mid) {
res += query(idx * 2, ql, qr);
}
if (qr > mid) {
res += query(idx * 2 + 1, ql, qr);
}
return res;
}
int main() {
vector<int> arr = {1, 2, 3, 4, 5};
int n = arr.size();
build(1, 1, n, arr);
// 区间更新
update(1, 2, 4, 10);
// 区间查询
cout << "Query [2, 4]: " << query(1, 2, 4) << endl;
return 0;
}
3.3 代码解释
Node结构体表示线段树的节点，包含左右端点、区间和和懒标记。build函数用于构建线段树。pushdown函数用于下推懒标记，将标记信息传递给子节点。update函数用于区间更新操作，遇到完全覆盖的区间时，只更新当前节点的和和懒标记。query函数用于区间查询操作，在查询前先下推懒标记。
3.4 应用场景
区间修改的懒标记优化常用于需要频繁进行区间修改和查询的场景，比如动态规划中的区间更新、游戏中的技能冷却时间管理等。
3.5 技术优缺点
- 优点：大大减少了区间修改的时间复杂度，提高了效率；避免了不必要的更新操作。
- 缺点：代码实现相对复杂，需要注意懒标记的下推和更新顺序。
3.6 注意事项
在使用懒标记优化时，要确保懒标记的下推和更新顺序正确。如果下推顺序错误，可能会导致结果错误。同时，要注意懒标记的初始化和清空。
四、文章总结
线段树的变种，如可持久化线段树、二维线段树和区间修改的懒标记优化，在不同的应用场景中都有着重要的作用。可持久化线段树可以保留历史版本，适合处理需要回溯历史状态的问题；二维线段树能高效处理二维区间的查询和更新，适用于矩阵相关的问题；区间修改的懒标记优化可以减少区间修改的时间复杂度，提高处理效率。
不过，每种变种都有其优缺点和注意事项。在实际应用中，我们要根据具体问题的特点，选择合适的线段树变种，并注意空间使用和代码实现的细节。通过合理运用这些线段树的变种，我们可以更高效地解决各种复杂的区间查询和更新问题。
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